رقاص (رياضيات)

رقاص (رياضيات)
(بالتحويل من بندول (رياضيات))



رسم متحرك لحركة البندول . نقطة السكون هي Ruheposition
بندول الرياضيات (بالإنجليزية:( Pendel (Mathematics) هو بندول بسيط يمثل حالة مثالية للبندول ، ويستخدم نموذجه لفهم الحركة الاهتزازية التوافقية .
ويتميز البندول الرياضي بالخواص الآتية:

• لا يوجد معه احتكاك
  
• تتمركز كتلة البندول في نقطة ، وتعتبر كتلة الخيط مهملة .
  

يمكننا تحقيق البندول البسيط باستخدام ثقل صغير الحجم للبندول ونعلقه بحيط رفيع . ونظرا لاختيار حرة بطيئة لتأرجح البندول (تعتمد على طول الخيط) فتكون قوى الاحتكاك بالهواء قليلة ويمكن اهمالها .
وباختيار انزياحا صغيرا عن نقطة السكون فيكون تردد البندول معتمدا فقط على طول الخيط و الجاذبية الأرضية. وكما زادت زاوية الانزياح (زاوية أكبر انزياح) يؤثر ذلك على التردد ، فيستحسن اختيار أزاحة صغيرة لمراعاة الدقة .
وبعكس المتوقع فلا يعتمد التردد على كتلة البندول.

الوصف الرياضي

القوة المحركة للبندول:
بواسطة تحليل القوى المؤثرة على البندول يمكن تعيين معادلة الحركة له:
لدينا بندول خيطي معلق فيه كتلة m ويقع تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g فتنشأ عليه القوة (F_R(t, التي تعمل مماسة للحركة القوسية للبندول . وتزداد تلك القوة التي تحاول إرجاع البندول إلى وضع السكون كلما زادت زاوية انزياحه φ عن نقطة السكون .

ونلاحظ عند رجوع البندول من أقصى نقطة ارتفاع له أن سرعته تزداد في اتجاه نقطة السكون ، وبعد تخطيها تتناقص سرعته وهو في طريقه إلى أعلى نقطة على الناحية الثانية . وتغير سرعة البندول تعني أن كتلة البندول يعتريها تسارع مماسا لاتجاه حركتة القوسية. وطبقا لقانون نيوتن الثاني ينشأ التسارع بسبب تأثير قوة على البندول وتتناسب معه .

بالتعويض عن التسارع المماسي يمكننا صياغة العلاقة بين القوة المماسة ومعدل تغير الزاوية :

حيث: طول الخيط .
(ملحوظة : تحتاج هذه الخطوة معرفة حساب التفاضل ، حيث المشتقة التفاضلية الثانية للزاوية بالنسبة للزمن .)
ونظرا لأن تلك هي القوة الوحيدة المؤثرة على البندول ولا توجد قوى مشوشرة أخرى فيمكننا مساواة المعادلتين بعضهما البعض ، فنحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية :

وباعتبار أن زاوية الانزياح صغيرة يمكن الحصول على التقريب الآتي للمعادلة :

وبالتعويض نحصل على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وحلها يعطينا معادلة الاهتزاز :

في تلك المعادلة ترمز إلى "مطال الزاوية" و φ₀ ترمز إلى طور الزاوية الابتدائي عند الزمن . وبالتالي نحصل على التردد الزاوي للبندول و زمن الدورة لتلك الحركة الاهتزازية .

ومن تلك المعادلتين أن كلا من تردد الهزاز زدورته تعتمدان فقط على طول الخيط وعجلة الجاذبية الأرضية ، ولا تعتمد على كتلة البندول